2. Conoce y aplica el Teorema del Resto: para un polinomio p(x) y un número a, el resto de la división por x – a es p(a), por lo tanto p(a) = 0 siempre y cuando (x – a) sea un factor de p(x).

Antes de presentar a tus alumnos el tema del resto de los polinomios, asegúrate de que recuerden lo que es un resto. No, no es pesto, sino un resto.

Por ejemplo, pídeles que dividan 13 por 4. Si ya han llegado hasta aquí en matemáticas, esto no debería suponer ningún problema. La mayoría de ellos te responderán 3.25. No obstante, pídeles que retrocedan unos cuantos años y recuérdales que deben escribir la respuesta como "3 con resto de 1." Es lo mismo, solo que para alumnos de tercer grado.

Si dividimos dos números enteros, a veces, el resultado es otro entero (6 ÷ 2 = 3) y otras veces tienen un resto (13 ÷ 4 = 3 con resto de 1). Cuando queda un resto de 0, significa que el segundo número es un factor del primero. Por ejemplo, 2 es un factor de 6 porque podemos multiplicar 2 por un número entero para obtener 6.

Una vez que se recuperen del intenso déjà-vu, con lentitud y paciencia explícales que los polinomios tienen la misma forma. Si al dividir el polinomio p(x) por x – a queda un resto de 0, sabremos que x – a es un factor de p(x). Es decir, p(x) = q(x) × (x – a) en el que q(x) es un polinomio o un número entero.

Un resto de 0 también significa que si reemplazamos a por x, terminaremos con p(a) = 0 sin importar qué sea q(a). Eso se debe a que p(a) = q(a) × (a – a) = q(a) × 0. Esperemos que a estas alturas tus alumnos ya sepan que todo lo que se multiplica por cero es cero.
Si p(x) dividido por x – a tiene un resto, podemos escribir la ecuación así p(x) = q(x) × (x– a) + r(x), en la que r(x) es el resto. A veces r(x) es un número y otras veces es un polinomio. Si hacemos que x = a en este caso, terminaremos con p(a) = r(a). ¿Viste?

En esencia, todo polinomio p(x) se puede escribir como producto de (x – a) y algún cociente q(x), más el resto p(a).

p(x)= q(x) × (x – a) + p(a)

Cuando p(a) = 0, (x – a) es un factor de p(x).

Los estudiantes deben saber cómo realizar todos estos cálculos y reacomodos. Para que sus respuestas sean, al menos, un tanto razonables, deben sentirse cómodos con la factorización de polinomios, la identificación de restos y, por supuesto, la división. Es de suponer que lo último es más que obvio, pero nunca se sabe.

Si estas tareas les resultan más confusas de lo normal, sugerimos que tus estudiantes practiquen con números enteros. De esa forma, podrán practicar estos mismos cálculos, pero dentro de su elemento. Además, también pueden controlar las respuestas. Por ejemplo,

⁸⁄₆ = 1 resto de 2

Si convertimos esto en una fórmula, nos queda 8 = 1(6) + 2 porque 8 es como p(x), 1 es como q(x) y 2 es como p(a). ¿Tiene lógica? Ahora pídeles que prueben con polinomios.