1. Demuestra que todos los círculos son semejantes.

Lo que se siembra se cosecha. Al menos eso cree Justin Timberlake.

Los estudiantes deben entender que un círculo es una curva cerrada en un plano. Lo especial de los círculos, es que todos los puntos de un círculo son equidistantes del centro. Eso quiere decir que los círculos se definen por dos detalles: la posición (el centro del círculo) y el tamaño (la distancia del centro a un punto en el círculo).

Los estudiantes deben saber que la posición no es un problema cuando hablamos de las transformaciones de semejanza o congruencia. Si tenemos dos figuras congruentes en distintas posiciones, la translación se puede trazar con facilidad una sobre otra. Pero, ¿qué tal el tamaño?

Los estudiantes deben saber que, a diferencia de los polígonos que tienen dimensiones independientes entre sí (la base y la altura, por ejemplo), el tamaño de un círculo depende de una única medida: el radio r. Claro que podemos ver el diámetro d o la circunferencia C e incluso el área A, pero todas ellas también dependen de r. (Este sería un buen momento para decirles que d = 2r y C = 2πr y A = πr²).

Como todos los aspectos del tamaño de un círculo dependen del r, podemos cambiar el tamaño de cualquier círculo con solo ampliar el radio por un factor de escala. Los estudiantes ya deben saber que las ampliaciones, ya sean expansiones o contracciones, son transformaciones de semejanza. Estamos cambiando el tamaño del círculo, pero no su forma.

Si la ampliación modifica el tamaño de un círculo y la translación puede modificar su posición, podemos fácilmente trazar un círculo en otro utilizando solamente esas dos transformaciones. Como la ampliación y la traslación son transformaciones de semejanza, puedes decirles a tus alumnos sin problemas que todos los círculos son semejantes. De hecho, ni siquiera necesitamos las reflexiones ni las rotaciones para ayudarnos. (Intenta rotar y reflejar círculos, y fíjate cómo cambian. Pista: no cambian para nada).

Los estudiantes también pueden usar dos círculos y las proporciones para determinar la semejanza. Dos formas semejantes tendrán una proporción constante al comparar lados correspondientes. Los círculos no tienen lados pero tienen radios, diámetros y circunferencias que podemos comparar. Si los estudiantes hacen eso, se darán cuenta de que un círculo pequeño con radio r y un círculo más grande con radio r’ son semejantes por un factor de escala constante.

Además, podríamos demostrar de la misma manera que la proporción del área es igual al cuadrado de la proporción del radio.

Tanto las circunferencias como los diámetros y los radios de nuestros dos círculos son proporcionados, lo que significa que son semejantes. En esencia, esto quiere decir que los círculos vienen en varios tamaños, pero siempre serán de la misma forma: círculo.

Aquí va un vídeo para refrescar la memoria acerca de los círculos.