2. Utiliza aproximaciones racionales de números irracionales para comparar el tamaño de números irracionales, ubícalos aproximadamente en un diagrama de recta numérica y calcula el valor de expresiones (como π²). Por ejemplo, truncando la expansión decimal de √2, muestra que √2 está entre 1 y 2, luego entre 1.4 y 1.5, y explica cómo continuar para obtener mejores aproximaciones.

Hace mucho, mucho tiempo, en un lugar llamado Grecia Antigua, la vida de las personas era muy distinta de la nuestra. No había dispositivos electrónicos: ni DVD, ni Xboxes, ni celulares (ni siquiera correo electrónico). No había mucho para hacer, excepto inventar las Olimpíadas y pensar en matemáticas. Entonces, una vez que finalizaron las Olimpíadas, mucha gente se sentó a coversar sobre matemáticas. 

Uno de esos habitantes de la Grecia Antigua se llamaba Zenón. Se le ocurrió la siguiente noción:

"Antes de llegar al pastel que está al otro lado de la habitación, primero tengo que caminar la mitad de camino hasta allí." (Suena razonable, ¿no?) "Pero, antes de hacer eso, debo recorrer un cuarto del camino," dijo. (Aún nos parece bien.) "Pero, primero, debo andar un octavo del camino y, antes de eso, un dieciseisavo," dijo Zenón.

Está bien, ¿adónde quiere llegar con esto? Bueno, en realidad, a ninguna parte. Según la Paradoja de Zenón, es imposible moverse, ya que uno siempre debe completar la mitad del viaje antes de poder andar el resto del camino. Esto deja a Zenón inmóvil y sin pastel. ¡Qué triste!

Del mismo modo, podría ser difícil para tus alumnos ver con exactitud a qué son iguales esos molestos números irracionales. Bueno, aquí es donde la Paradoja de Zenón, efectivamente, entra en acción.

Digamos que queremos aproximarnos a la raíz cuadrada de 2. Sabemos que es entre 1 (que es la raíz cuadrada de 1) y 2 (que es la raíz cuadrada de 4). Por ende, debe ser uno punto algo.

Si elevamos 1.5 al cuadrado, obtenemos 2.25. Por consiguiente, la raíz cuadrada de 2 es un poco menos de 1.5. Pero si elevamos 1.4 al cuadrado, obtenemos 1.96. Como 2 está entre 1.96 y 2.25, la raíz cuadrada de 2 está entre 1.4 y 1.5. Podríamos pasarnos todo el día haciendo esto: aproximarnos al valor verdadero de la raíz cuadrada de 2, que es un número irracional.

Los alumnos deberían poder pensar aproximaciones similares para casi cualquier número irracional que pudieran encontrarse. El objetivo es que los alumnos sepan, más o menos, dónde se ubican los números irracionales en la recta numérica, no hacerles hallar la ubicación exacta de π. (probablemente, todavía está del otro lado de la habitación de Zenón. No es que él la haya movido o algo por el estilo.)