3. Entiende la probabilidad condicional de A dado B como P(A y B)/P(B) e interpreta la independencia de A y B como una forma de expresar que la probabilidad condicional de A dado B es igual a la probabilidad de A, y la probabilidad condicional de B dado A es igual a la probabilidad de B.

Te vas a tomar unas vacaciones de una semanita. Reservaste una tranquila cabaña a orillas del lago, ubicada al pie de las montañas intactas y a pocas horas de tu casa. Si bien sabes bastante bien hacia dónde vas, todavía necesitas tu GPS para llegar seguro a tu respiro del mundo.

Cuando estás a pocos kilómetros de la cabaña, el GPS te lleva por un camino tenebroso con un follaje de árboles que bloquea los rayos del sol. Pronto el pavimento se convierte en tierra y llegas a una calle sin salida. Sabes que estás cerca, pero te ves perdido en un mundo salvaje y extraño. Frenético, buscas un mapa, alguna señal de civilización o un rayito de sol que te pueda guiar en la dirección correcta. El GPS te ha fallado.

Así es como probablemente se sientan tus alumnos la primera vez que les enseñes la probabilidad condicional. Tú serás su GPS, y los conducirás por el camino a seguir. Si no tienes cuidado al presentar las ideas, podrías dejarlos varados a medio camino.

La probabilidad condicional implica nada más hacer una pregunta simple: ahora que ha ocurrido el evento A, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra el evento B en el futuro? El diagrama de Venn en la imagen muestra esta idea. Supongamos que ya sabemos que el evento A ha ocurrido. Los resultados posibles del evento B son los que están sombreados en negro. De la misma manera, los resultados posibles del evento C son los que están sombreados en verde.

Ahora puedes preguntarles a tus alumnos: "Una vez que el evento A ya ha ocurrido, ¿los resultados posibles del evento D son los sombrados de color naranja?" Es posible que muchos estudiantes salten de entusiasmo gritando, "¡Sí, los naranja!" El GPS los dejó varados en el camino. La respuesta correcta es que no hay resultados posibles del evento D dado que el evento A ya ha ocurrido. Está bien dejarlos que se pierdan, siempre y cuando los vuelvas a guiar por el camino correcto. Preferentemente, antes de que se les acabe la batería.

Queremos desglosar lo que sucedió. Ya sabemos que el evento A ocurrió. Sucedió. Es un hecho. En vez de ubicarse en el espacio Ω, todos los resultados posibles están en el espacio azul. Ya que A ocurrió, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra B? Esto se llama P(B|A) y se lee "la probabilidad de B dado A." Ahora que A ya ocurrió, tenemos menos resultados de los cuales elegir que antes. La probabilidad de que B ocurra debe reflejar eso.

Ahora que has marcado la distinción a los estudiantes, les puedes presentar la fórmula de cómo calcular P(B|A):

Si vemos esta fórmula, en esencia solo estamos renormalizando nuestra lista total de resultados. Es posible que esta idea de renormalizar no les sea clara a los estudiantes. Sería beneficioso explicarla usando un diagrama de Venn para mostrarles que simplemente estás dividiendo por el espacio total del evento A porque la probabilidad de que ocurra el evento A es 1.00.

Usemos algunos números. Imaginemos que nos dijeron que P(A) = 0.70, P(B) = 0.30 y P(A y B) es 0.15. Estos números corresponden a antes de que haya ocurrido el evento A o B. Luego, nos dicen que ha ocurrido el evento A. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra B, P(B|A)?

No es 0.30. Lo sabemos al aplicar la fórmula:

La probabilidad de que B ocurra después de que A ha ocurrido en realidad disminuye. Esto significa que los dos eventos parecen estar relacionados de alguna manera.

¿Cuál es la probabilidad de que A ocurra después de que B haya ocurrido, P(A|B)?

La probabilidad de A aumenta después de que B ha ocurrido. Ahora bien, está claro que los eventos A y B no son independientes. Desde el punto de vista matemático, P(A|B) ≠P(A) o P(B|A) ≠ P(B) si los eventos A y B no son independientes.

¿Cómo sabemos si dos eventos son independientes? Supongamos que la probabilidad del evento C es 0.25 y P(A y C) = 0.175. Bien, solo nos tenemos que asegurar de que estas ecuaciones sean verdaderas.

Dado que P(A|C) = P(A) y P(C|A) = P(C), los eventos A y C son independientes.

Tenemos que tener cuidado de mostrar una última distinción. Miremos los eventos A y D en el diagrama de Venn. Es claro que P(A y D) = 0.00. Supongamos que P(D) = 0.02. Dada nuestra fórmula, P(D|A) = P(A|D) = 0.00. Toma en cuenta que estos no equivalen a P(D) ni P(A). Los eventos A y D no son independientes. Puede que el diagrama de Venn sea un poco engañoso en este punto. Puede que a los estudiantes les cueste entender esta idea; por lo tanto, asegúrate de guiarlos hacia la fórmula, no el diagrama, para determinar la independencia.

En general, este tema en particular es rebuscado. Al igual que el GPS, puedes ayudar a tus alumnos a encontrar su camino. Es importante mencionarles que los diagramas de Venn son herramientas visuales útiles. En este caso, se pueden usar para explicar lo que es la probabilidad condicional. Después de eso, debes dejar que los estudiantes se liberen del diagrama de Venn y guiarlos hacia la fórmula para ayudarlos a determinar la independencia de los eventos.