4. Para una función que modela una relación entre dos cantidades, interpreta las características fundamentales de las gráficas y las tablas en términos de las cantidades, y realiza bocetos de gráficas que muestren las características fundamentales tras recibir una descripción verbal de la relación. Entre las características fundamentales están: intersecciones; intervalos en los que la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento en los extremos; y periodicidad.

No sabemos si ya lo notaste, pero se han impreso muchos libros. Algunos son de poesía, otros son novelas de misterio y algunos, de las dos cosas. (Este acertijo te pondrá los pelos de punta: "¿Señor Guzmán? ¿El pasillo? ¿Una soga? ¿Quién habrá sido?, continúa buscando para encontrar más claves y saber quién lo hizo.") Incluso hay novelas gráficas, cuentos y más géneros de libros de los que podemos incluir en la lista. Pero aun así no dejan de ser libros, no importa su contenido.

Del mismo modo, las funciones son funciones sin importar las distintas formas en las que podemos expresarlas. Podemos describir una función con palabras o trazarla en el plano cartesiano. Si de verdad queremos, podemos encontrar la ecuación que describe la función o hacer una tabla de valores para describirla. Los estudiantes deben saber que pueden usar estos distintos métodos para describir la misma función. También deben saber cómo hacerlo.

Los estudiantes entenderán que saber expresar funciones de distintas formas tiene sus ventajas. Por ejemplo, si queremos describir f en términos de x como polinomio de segundo grado, podemos escribir f(x) = x² + x + 1. Aunque esto nos permitiría determinar el valor de f(x) para cualquier valor x, quizás sea más difícil imaginar el comportamiento de todos los números enteros. Para ver cómo se comporta x desde un punto de vista global, podríamos usar una gráfica.

Con una gráfica, podemos obtener una mejor idea de la relación en una escala mayor. El comportamiento en los extremos de la función se puede extraer con mucha más facilidad desde un punto de vista visual. Es decir, podemos ver que, a medida que x incrementa, f(x) también incrementa. También es fácil identificar el mínimo de la función a partir de la figura. Todos estos aspectos de la función no quedan tan claros cuando lo único que tenemos es una ecuación.

Los estudiantes deben saber que podemos identificar los ceros manipulando la ecuación (cuando x = 0 o f(x) = 0) o examinando la gráfica. Aunque puede ser más fácil usar la gráfica para encontrar las intersecciones (o ceros), los estudiantes deben saber que esto requiere cometer una cierta cantidad de errores. No hay que juzgar por las apariencias, ni a las funciones por sus gráficas.

Los estudiantes también deben saber que se obtiene un mínimo o un máximo cuando la inclinación de la función es de 0. Si esto puede parecerles un concepto raro o confuso, pídeles que dibujen las líneas tangentes de una función. Confirma que cuando las líneas tangentes son horizontales, la función tiene un máximo o un mínimo.

Con una descripción verbal de una función, los estudiantes deben ser capaces de trazar la función. No tiene que ser más que una figura esquemática equivalente a la Mona Lisa, pero si les pides la Mona Lisa y te entregan un Picasso, sabrás que tienen problemas. A veces estas descripciones verbales serán directas y, en otras oportunidades, deben pedir a los estudiantes que apliquen estas funciones a situaciones de la vida real (como lanzar una pelota al aire y que haga el mismo recorrido que una parábola).

Cuando los estudiantes puedan cambiar de una ecuación, gráfica o descripción verbal a otra, podrán apreciar las funciones desde perspectivas lingüísticas, simbólicas y visuales. Después de eso, lo único que queda es conseguir que aprecien los acertijos sobre misterios sin resolver, pero puedes dejar que su profesor de Inglés se encargue de esa parte.