3. Explica por qué la suma o el producto de dos números racionales es racional, que la suma de un número racional y un número irracional es irracional y que el producto de un número racional que no sea cero y un número irracional es irracional.

En algún momento de tu pasado académico, te presentaron el concepto de los números irracionales. Es probable que el profesor haya dicho algo como esto: "Un número irracional es un número que no puede escribirse como un decimal no periódico e infinito." Mientras copiabas la definición con esmero, dos pensamientos invadieron tu mente:

1. ¿A qué viene todo esto?
2. ¿A qué hora se almuerza?

Siendo realistas, sabemos que, de hecho, no te importaba a qué venía todo eso o por qué y esperamos que hayas almorzado en algún momento de ese día. Sin embargo, nos gustaría que les brindaras a tus alumnos una definición más cercana a la realidad (tal vez un poco menos precisa desde el punto de vista matemático) de los números irracionales.

Ya sabes, como cuando discutes con tus padres, tus hermanos o tu pareja y oyes las palabras: "¡Eres tan irracional!" (No mientas. A todos nos pasó alguna vez). Bueno, te aman y todo eso, pero no te estaban haciendo un cumplido.

"Irracional" es una palabra fea; insinúa cosas feas.

Los números irracionales son los números que, con toda probabilidad, resultarán "feos" para tus alumnos. De hecho, los números irracionales son tan feos que necesitan sus propios símbolos, como signos radicales o π. Son las malévolas hermanastras del álgebra. (Sin embargo, como profesor de matemáticas, es probable que aprecies la belleza de los números irracionales. La belleza está en los ojos del que mira).

Los números irracionales contaminan todo lo que tocan. Agrega un irracional a un racional y nuestra respuesta es irracional. Multiplica un irracional por un racional y nuestra respuesta es irracional. En efecto, la única esperanza para la sociedad civilizada es cuando multiplicamos o dividimos irracionales: algunas veces, la respuesta será racional. Si tenemos suerte.

Por ejemplo, si multiplicamos √2 por √8 , obtenemos √16, que es racional, ya que puede (y debería, por la cordura de todos) simplificarse a 4.

Si multiplicamos un 6 lindo y normal por un √2 irracional y feo, continúa siendo irracional; nuestra respuesta es 6√2 .

En esencia, esta es la regla para multiplicar y dividir números irracionales. Primero opera con cualquier coeficiente (el número que está antes del signo radical) y luego opera con los radicales. Si por casualidad obtienes algo que se simplifica a un número racional lindo y precioso, entonces deberías hacerlo de verdad.

Para sumar o restar, haz lo mismo: opera con los radicales de modo que sean "términos similares" —toda la raíz cuadrada del mismo número— de ser posible, luego, combina los términos similares.

A continuación, verás un video que resume los números racionales e irracionales.