2. A partir de un foco y una directriz, deriva la ecuación de la parábola.

¿Qué tienen en común una antena parabólica, la trayectoria que la flecha de Katniss Everdeen seguiría si ella apuntara hacia el cielo y el agua del inodoro que se arremolina cuando tiras la cadena? Las parábolas. Sí, leíste bien. La forma que obtienes cuando cortas un cono en sentido perpendicular a la base se presenta en muchísimas situaciones de la vida real.

Los estudiantes ya deben saber que las parábolas, como casi todo lo demás en Matematicalandia, se pueden etiquetar con su propia y única ecuación de esta forma y = ax² + bx + c. Pero darles a tus alumnos los valores de a, b y c sería demasiado fácil, ¿no crees? Mejor, pídeles que descubran la ecuación cuando se les da un foco y una directriz.

Los estudiantes deben saber que un foco es un punto cerca de una parábola y una directriz es una recta cerca de una parábola. ¿Qué tienen de especial? En el idioma matematiqués, la parábola es un conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia entre dos cosas, un punto dado y una recta dada. En forma de dibujo, sería algo así.

Los estudiantes deben saber que, como las distancias son iguales, la ecuación de una parábola se halla aplicando la siguiente señora ecuación, en la que x_f e y_f son las coordenadas del foco y, ya sea x_d o y_d, se pueden sustituir por el valor de la directriz. El otro valor se convierte en su respectiva variable (así que x_d se transforma en x o y_d se transforma en y).

Para ayudar a los estudiantes a ser más eficientes, diles que cuadren ambos lados y luego los expandan. De esa manera pueden despejar y para obtener la ecuación de la parábola. No hay por qué ponerse a sudar (salvo que estén corriendo en la cinta o algo así).

Los estudiantes también pueden usar la fórmula (x – h)² = 4p(y – k) para una directriz horizontal y (y – k)² = 4p(x – h) para una directriz vertical. Deben saber que (h, k) son las coordenadas del vértice de la parábola y p es la distancia desde el foco al vértice. Recuérdales a los estudiantes que p será negativo cada vez que el foco esté debajo o a la izquierda de la directriz.

Las parábolas horizontales pueden existir en la vida real si se te cae la antena parabólica o si te paras en una plataforma y arrojas un búmeran. Esperamos que la parábola del agua del inodoro nunca sea horizontal.

Eso sería asqueroso.