3. Deriva las ecuaciones de elipses e hipérbolas a partir de los focos determinados, aprovechando el hecho de que la suma o la diferencia de las distancias de los focos es constante.

Para muchos estudiantes, resolver problemas en Geometrilandia puede parecer un viaje de negocios a Alegbralandia. (¡Está claro que no es un viaje de diversión!). Trabajar con las ecuaciones de elipses e hipérbolas requiere una fluidez en dos dialectos de matematiqués: el geometriqués y el algebricol.

Foco, vértice, asíntota, transverso, conjugado, posición estándar, el Teorema de Pitágoras, todos ellos son términos geométricos importantes que los estudiantes necesitan saber. Por otro lado, cuadrado, simplificar, despejar la x y completar el cuadrado, son habilidades algebraicas esenciales que deben poder realizar.

Si su viaje a Geometrilandia es exitoso, deben saber las ecuaciones que describen elipses (que parecen círculos alongados) e hipérbolas (que parecen un par de parábolas). Para las elipses o hipérbolas con centro (h, k) un eje mayor de a y un eje menor de b, las fórmulas son:

Los estudiantes deben saber que, cuando los ejes mayores son verticales en vez de horizontales, los valores a² y b² se intercambian. El eje que se elonga lleva la a más grande debajo.

Es probable que los estudiantes también quieran saber la fórmula de la distancia. Después de todo, el estándar mismo presenta la palabra "distancias." Por suerte para ellos, la fórmula de distancia sigue siendo la misma de siempre.

Los estudiantes deben entender que, si bien las parábolas tienen un solo foco, las elipses y las hipérbolas tienen dos focos. (El plural de foco es "foci", en inglés, así que no dejes que eso los confunda). La distancia desde un foco a cualquier punto de la elipse y de vuelta al otro foco siempre será constante. Es lo mismo en el caso de las hipérbolas, pero en vez de sumar las distancias, las restamos.

Dados un par de focos, los estudiantes deben poder hallar la ecuación de una elipse. Pueden lograrlo preparando la ecuación como si fueran dos cálculos de distancia (la distancia desde un foco (x, y) y el otro al mismo punto) que son iguales a una constante, o hallando los valores de h, k, a y b.

También ayuda imaginar un triángulo rectángulo dentro de la elipse con vértices en el centro, uno de los focos y el vértice vertical. La longitud de la hipotenusa es la mitad de la distancia constante c (la otra mitad es la hipotenusa del triángulo al otro lado), la longitud de la base nos ayuda hallar la ubicación de los focos, y la longitud del cateto vertical es b (la misma b de las ecuaciones anteriores). Los estudiantes también pueden hallar a si dividen la distancia constante por 2.

También podrías representar la distancia constante como una cuerda floja conectada a dos focos. Utilizando una cuerda para guiar tu marcador, dibuja la elipse y explica la relación que existe entre los valores y las distancias. Incluir también los triángulos los ayudará a solidificar estas relaciones matemáticamente. Los estudiantes deben familiarizarse con todas las complejidades de Villa Elipse de modo que realmente puedan moverse de un lado al otro (y al otro y al otro).

El itinerario para la Ciudad Hipérbola debería tener una apariencia muy similar. Los estudiantes deben poder realizar los mismos cálculos, hallando la ecuación cuando se les da el foco. Lo único que cambia es que, en lugar de la suma de dos distancias, estamos hablando de la diferencia.

Si a tus alumnos les cuesta, quizá les convenga:

• Repasar el álgebra que se utiliza para simplificar ecuaciones grandes, en especial para completar el cuadrado.
• Tener en cuenta cómo se aplica aquí el Teorema de Pitágoras.
• Poner atención a cuándo y dónde se usa la adición y la sustracción.
• Hacer referencia a un dibujo de la figura en cuestión que indique todos los nombres correspondientes.