4. Usa las coordenadas para demostrar teoremas geométricos simples en términos algebraicos. Por ejemplo, comprueba o desmiente que una figura definida por cuatro puntos dados en el plano cartesiano es un rectángulo; comprueba o desmiente que el punto  se encuentra en el círculo centrado en el origen y que contiene el punto (0,2).

Los estudiantes van a necesitar saber varias fórmulas y ecuaciones importantes para comprobar que puedan defenderse contra Descartes. Estas son algunas de las ecuaciones más importantes:

• La fórmula de distancia: 
    
• La fórmula de la pendiente: 
    
• La fórmula del punto medio: 
    
• La ecuación de un círculo: (x – h)² + (y –k)² = r²
    
• La ecuación de una elipse: 
    
• Las ecuaciones de las demás formas/funciones que se pueden trazar en el plano cartesiano (parábolas, hipérbolas, etc.).

También tendrán que adquirir soltura en las propiedades de las figuras geométricas. Si no saben que la suma de cualquiera de los dos lados de un triángulo siempre es más grande que el lado que queda, o que los cuatro lados de un rombo son congruentes, van a tener grandes problemas.

Para demostrar un teorema geométrico de una forma en el plano cartesiano, no es suficiente que los estudiantes sepan estas propiedades y fórmulas. Van a tener que ser capaces de aplicarlas al plano cartesiano también.

La mayoría de las afirmaciones que los estudiantes tendrán que demostrar de alguna forma estarán relacionadas con ángulos y longitudes. Por ejemplo, para demostrar que una figura dada es un cuadrado, los estudiantes podrían demostrar que las pendientes de los lados adyacentes son perpendiculares (la fórmula de la pendiente) y que todos los lados tienen exactamente la misma longitud (la fórmula de distancia).

Hay infinitas posibilidades (pues, pareciera que las hay) para demostrar en términos algebraicos las muchas propiedades de las muchas formas en el plano cartesiano. Si bien los estudiantes no tienen que saber todas las maneras de demostrar un teorema geométrico en particular, pero sí deben poder recordar por lo menos una.