6. Utiliza triángulos similares para explicar por qué la pendiente m es la misma entre cualquiera de dos puntos diferentes sobre una línea no vertical en el plano cartesiano; deriva la ecuación y = mx para una línea que pasa por el origen y la ecuación y = mx + b para una línea que intercepta el eje vertical en b.

Joe Weakleg está en una carrera de bicicletas, una de esas maratones largas y extenuantes que se televisan durante horas y horas los domingos por la tarde. Esta parte de la carrera es en subida y a Joe le parece que cuanto más pedalea, más inclinada se vuelve la pendiente.

Después de la carrera, da un paso hacia atrás. (Bueno, en realidad, muchos pasos.) Se aleja y mira la ruta a la distancia. Al parecer, la ruta en la que él estaba era una línea recta larga. 

Además de aprender que debe entrenar más antes de intentar correr otra de esas carreras, Joe aprende que, si los puntos son colineales, o están en la misma línea recta, entonces la pendiente entre diferentes partes de esa línea es la misma. Si el camino es bastante inclinado al principio, continúa siendo igual de "inclinado" hasta el mismísimo final.

Los alumnos deberían saber que, desde el punto de vista matemático, esto significa que la pendiente de la línea continúa siendo la misma. Pueden usar triángulos similares para consolidar la comprensión de este concepto. 

En el diagrama anterior, ΔABE y ΔACD son similares, lo cual significa que todos los lados correspondientes están en proporción. La relación de CD a BE es la misma que de CA a BA y de DA a EA. Por consiguiente, si bien la distancia de A a B no es la misma que de A a C, la inclinación es la misma.

Si los alumnos necesitan un ejemplo, utiliza los vértices de triángulos como puntos. Por ejemplo, podemos hallar las pendientes de los segmentos si A está en (0, 0), B está en (4, 3), y C está en (12, 9). Usando la fórmula de la pendiente, podemos calcular la pendiente de AB, AC e incluso BC.

Entonces, independientemente de la distancia, los tres segmentos tienen la misma pendiente. De nuevo, los alumnos deberían ser conscientes de que la pendiente representa la inclinación de una línea y que las pendientes negativas son posibles.

Por último, es hora de introducirlos a las ecuaciones lineales en forma estándar. Los alumnos deberían saber que las líneas pueden expresarse en la forma y = mx donde m es la pendiente porque, dada una coordenada x, todo lo que debemos hacer es multiplicarla por la pendiente para hallar la coordenada y. Una vez que los alumnos se sientan cómodos con esto, asegúrate de retorcer la fórmula levemente para obtener y = mx + b, donde b es la intersección y.

Si los alumnos se confunden, pedalea hacia atrás hasta donde se quedaron en el camino. Una vez que hayan flexionado y entrenado sus músculos matemáticos lo suficiente, deberían estar más cerca de Lance Armstrong que de Joe cuando se trate de ecuaciones lineales. Aunque después del olor corporal que genera una maratón, es posible que no quieran estar cerca de ninguno de los dos.