3. Interpreta la ecuación y = mx + b como definir una función lineal, cuyo gráfico es una línea recta; da ejemplos de funciones que no son lineales. Por ejemplo, la función A = s² que da el área de un cuadrado como una función de su longitud lateral no es lineal porque su gráfico contiene los puntos (1, 1), (2, 4) y (3, 9), que no están en una línea recta.

El artista Paul Klee dijo una vez: "Una línea es un punto que salió a caminar." ¿Sábes una cosa? Tenía razón. Una línea realmente es un conjunto de puntos. Cuando una función forma una línea, esa función se llama lineal. 

Los alumnos ya deberían estar más o menos familiarizados con las ecuaciones lineales. Por lo menos, al punto de tener un pequeño déjà-vu cuando ven la ecuación y = mx + b. Todo lo que debes hacer ahora (aparte de refrescar la memoria) es decirles que esta ecuación para una línea es la misma que una función lineal. Siempre que x permanezca con una potencia de 1, la función será lineal.

Los alumnos deberían poder reconocer funciones lineales en forma estándar (como y = 4x + 5 y -½x – 7) y graficarlas como líneas rectas. Algunos puntos que salen a caminar continúan andando y andando en una línea recta para siempre. Otros puntos prefieren viajar por una pintoresca ruta curva.

Las funciones que no son líneas se agrupan en la categoría no lineal. Los alumnos deberían poder reconocer funciones que no son lineales. Por ejemplo, la ecuación y = x² es una función porque cada valor x produce un valor y. Así y todo, no encaja en el patrón de y = mx + b. Si graficamos la función, terminamos con una curva llamada "parábola," con la forma de una "U" gigante.

Los alumnos deberían reconocer funciones cuadráticas y de valores absolutos como no lineales. (Los gráficos de ambas parecen puntos que comienzan yendo en una dirección y luego cambian de opinión.) Si bien continúan siendo funciones (asegura a los alumnos que la definición de "función" ¡no ha cambiado!), sin ninguna duda, no son líneas. Y eso debería desprenderse tanto de los gráficos como de las ecuaciones.

Si los alumnos no están seguros, pueden determinar si una función es lineal echando un vistazo a la ecuación y viendo si encaja en y = mx + b. Incluso una ecuación como 3x + 9y = 0 puede reacomodarse para que encaje en la forma estándar, pero y = x² + 2x + 1 nunca lo hará. Si aún necesitan convencerse más, pueden graficar los puntos y ver si el gráfico es una línea recta o no.

Sean lineales o no, los alumnos deberían saber que las ecuaciones y los gráficos no siempre son funciones. La forma más fácil de determinar si un gráfico es el de una función o no es utilizando la prueba de la línea vertical. Si una línea vertical puede dibujarse en el gráfico sin intersectar la línea o la curva más de una vez, el gráfico es una función. Si no, lo que tenemos no es una función, sino uno punto sin sentido de dirección.