4. Usa la circunferencia goniométrica para explicar la simetría (par e impar) y la periodicidad de las funciones trigonométricas.

Los estudiantes deben saber determinar la simetría de las funciones trigonométricas. También deben saber que cuando decimos "simetría," no nos estamos refiriendo a los espejos que hablan y los palíndromos.

Al comparar los valores de las funciones trigonométricas de los cuadrantes I y IV, los estudiantes pueden determinar si la función es impar o par. Pero para conseguirlo, antes deben tener bien claro qué son las funciones pares e impares.

Los estudiantes deben saber que el coseno y el secante son funciones pares y que son simétricas con respecto al eje y. Sabemos que esto es cierto gracias a las identidades negativas con respecto a los ángulos para el coseno y el secante.

cos(-θ) = cosθ
sec(-θ) = secθ

Como es de esperarse, el resto (seno, cosecante, tangente y cotangente) son funciones impares y son simétricas con respecto al origen. Estas también tienen identidades negativas con respecto al ángulo.

sin(-θ) = -sinθ
csc(-θ) = -cscθ
tan(-θ) = -tanθ
cot(-θ) = -cotθ

Los estudiantes pueden confundir estas identidades con las seis funciones trigonométricas. Recuérdales que estas identidades aplican a los ángulos, mientras que las seis funciones trigonométricas aplican a los cuadrantes. De cualquier modo, ¡ninguna deja de aplicar!

Es posible que también quieras aprovechar para hablar sobre estas funciones como líneas sobre la circunferencia goniométrica. No es indispensable, pero ver las funciones trigonométricas representadas de esta forma les puede ayudar a entender mejor las relaciones de estas funciones y hacer predicciones (sobre qué le podría pasar a la función tangente cuando θ = ^π⁄₂, por ejemplo).

Los estudiantes también deben saber que las seis funciones trigonométricas son funciones periódicas. En concreto, los periodos del seno, cosecante, coseno y secante son 2π y los periodos de la tangente y la cotangente son π. Para entender por qué, mueve θ de 0 hasta 2π en la circunferencia goniométrica y comprueba cómo cambia cada función.

Después de cada periodo, la función se repite, lo que significa que sin(θ + 2π) = sinθ. Lo mismo aplica a las seis funciones trigonométricas y sus respectivos periodos. No es otra cosa que la naturaleza de la periodicidad.