9. Demuestra las fórmulas de suma y resta para el seno, el coseno y la tangente, usándolas para resolver problemas.

Sumar o no sumar; esa es la cuestión. Para algunos estudiantes, podría significar la diferencia entre la vida y la muerte. No sabemos si estamos exagerando el drama pero, ¿No es acaso Hamlet un drama?

Los estudiantes deben ser capaces de entender las demostraciones escritas de las fórmulas de suma y resta para el seno, el coseno y la tangente. Tras estudiar estas demostraciones, también ser capaces de reproducirlas.

sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ

cos(α + β) = cosα cosβ – sinα sinβ

Para encontrar el seno, el coseno o la tangente de α – β en vez de α + β, cambia todos los signos del otro lado de la ecuación.

Guiar a los estudiantes paso a paso y varias veces por las demostraciones suele ser una buena idea. Puede ser útil repasar las identidades de los ángulos negativos y co-funciones antes de trabajar con las demostraciones. Esperemos que los estudiantes ya sepan bien los radianes, pero si no, es posible que lo mejor sea resolver los primeros problemas en grados.

Aunque la meta es que los estudiantes entiendan estas demostraciones, algunos pueden no tener otra opción que memorizarlas. Aun así, es más fácil que memorizar y entender un monólogo de Shakespeare, ¿no?

Es importante explicar a los estudiantes que estas fórmulas son muy útiles si tenemos ángulos que son combinaciones de ángulos especiales (30°, 45°, 60° y sus equivalentes en otros cuadrantes). Por ejemplo, el valor exacto de sin(15°) se podría encontrar usando sin(45° – 30°). Los valores exactos pueden ser poco agradables, pero los estudiantes no siempre pueden contar con tener una calculadora a la mano.

Las identidades de la suma y la resta pueden ser útiles también en otros sentidos. Podríamos derivar las identidades de las co-funciones y las identidades de los ángulos dobles usando las identidades de la suma y la resta; o bien podríamos usarlas para simplificar expresiones trigonométricas como cos(θ + 3π).

También son útiles para resolver otras demostraciones y tus alumnos sin duda las necesitarán cuando pasen a la clase de cálculo. Esperemos que para entonces no hayan sucumbido a la locura, como en Hamlet.