10. Comprende que las matrices cero e identidad cumplen un papel importante en la suma y la multiplicación de matrices, similar al papel de 0 y 1 en los números reales. El determinante de una matriz cuadrada es distinto a cero solo si la matriz tiene un inverso multiplicativo.

Los alumnos deben saber lo que son las matrices cero e identidad y cómo se utilizan en la suma y la multiplicación de matrices. 

En primer lugar, comenzaremos con cero. Es un gran número, ¿no? Puedes sumar cero a cualquier número y vuelves a obtener el mismo número. Por ejemplo, 6 + 0 = 6 y 0 + 19 = 19. Se llama identidad aditiva porque agregamos cero a cualquier número sin cambiar la "identidad" del número. (Por lo tanto, cuando se va al cine a ver una película restringida para menores de 17, de nada servirá sumarle un cero a la edad.)

Del mismo modo, 1 es la identidad multiplicativa. Podemos multiplicar cualquier número por 1 y no cambiar la "identidad" del número. Por ejemplo, 3444 × 1 = 3444 y 1 × 7 = 7.

Así es, pero ese es el reino de los números. Aquí estamos hablando de matrices.

Los alumnos deberían saber que la matriz cero es exactamente lo que piensan que es: una matriz llena de ceros. Cuando se suma a cualquier otra matriz, el resultado es la otra matriz.

En cambio, la multiplicación es un poco más engañosa.

La matriz de identidad es una que, multiplicada por la matriz A, da como resultado la matriz A. Debido a la forma en que opera la multiplicación de matrices, la matriz de identidad no está llena de unos; en su lugar, tiene una diagonal de unos, comenzando en la esquina superior izquierda y bajando. Las entradas restantes son ceros.

Entonces, un ejemplo de una matriz de identidad es este:

Y otro es este:

Entiendes la idea. 

Si multiplicamos una matriz cuadrada por su inverso multiplicativo, da como resultado una matriz de identidad. (Queremos el mismo número como hileras y como columnas porque queremos que sea conmutativo, no importa si colocamos primero la matriz A o su inverso. Queremos poder multiplicarlos para obtener la matriz de identidad.)

Podemos encontrar el inverso multiplicativo de cualquier matriz con bastante facilidad. Si tenemos una matriz , entonces el inverso multiplicativo es

Una matriz de se convierte en .

Asimismo, los alumnos deben saber lo que es un determinante y cómo calcularlo.

Para encontrar el determinante de una matriz 2 × 2, simplemente multiplica las dos diagonales. Luego, a la que comienza en la parte superior izquierda réstale la que comienza en la parte superior derecha. El resultado es nuestro determinante. 

Por ejemplo, dada la matriz , podemos calcular el determinante de esta manera: 7 × 2 – 3 × 8 = -10. En realidad, eso es todo lo que se necesita.

Encontrar el determinante de una matriz 3 × 3 es un poco más complicado. Digamos que necesitamos encontrar el determinante de

Lo que hacemos es lo siguiente: 

Primero, vuelve a copiar las dos primeras columnas y pégalas al final de la hilera. Deberíamos tener 5 columnas y 3 hileras. En otras palabras, deberíamos tener algo así:

Luego, operando desde la parte superior izquierda hacia la parte inferior derecha, multiplica las entradas de cada una de las 3 diagonales y suma esos 3 números. Desde la parte superior izquierda, obtenemos esto: 

1 × 0 × 0 + 2 × 1 × 5 + 3 × 4 × 2 = 34

Ahora realiza la operación desde la parte superior derecha hacia la parte inferior izquierda y haz lo mismo. Desde la parte superior derecha, obtenemos esto:

2 × 4 × 0 + 1 × 1 × 2 + 3 × 0 × 5 = 2

Hasta ahora, todo bien. Luego, resta el segundo número al primer número. Es decir, 34 – 2 = 32. Ese es nuestro determinante.