3. Encuentra el conjugado de un número complejo; usa conjugados para encontrar los módulos y cocientes de los números complejos. 

Cada número complejo tiene un socio importante: su conjugado. (Sean socios comerciales, de baile o domésticos. En realidad, no lo sabemos).

Para encontrar el conjugado de un número complejo, tus alumnos deberán saber cambiar el signo entre la parte real y la parte imaginaria. En otros palabras, cambiar el signo que está en el medio, de modo que a + bi se convierta en a – bi. 

Algo curioso sucede cuando multiplicamos conjugados: el producto se vuelve real. ¿Qué sucede cuando multiplicamos 2 + 3i por su conjugado: 2 – 3i? Utilizaremos el método FOIL (first, outer, inner, last o primero, afuera, adentro, último) o la propiedad distributiva doble para multiplicar. Cuando distribuimos el 2, obtenemos 4 – 6i. Cuando distribuimos el 3i, obtenemos 6i – 9i². 

Hasta ahora, tenemos 4 – 6i + 6i – 9i². ¿Lo ves? Los términos 6i se anulan unos a otros, lo cual nos deja con 4 – 9i². 

Recuerda: como i² = -1, ese último término es 9 (¡no -9!). Por ende, nuestra respuesta es 4 + 9 o 13.

De la tierra de lo imaginario surgió un resultado muy real. Muy bueno, ¿no? 

¿Sabes lo que es incluso mejor? ¡Eso siempre sucederá cuando multipliquemos conjugados! (Funcionará tanto para ti como para tus alumnos o tu abuela de 103 años, al igual que lo hizo para nosotros.) 

Cuando multiplicamos un par de conjugados (por ejemplo, a + bi y a – bi), nuestra respuesta siempre será a² – b²i². (Los dos términos del medio siempre se anularán el uno al otro). Como sabemos que la parte i²siempre será -1, podemos simplificarlo más y decir que siempre será a² + b². ¿No es un atajo ingenioso? 

Cuando los números imaginarios se vuelven demasiado grandes para nosotros, podemos usar conjugados para convertirlos en números reales. 

Ya vimos suma, resta y multiplicación. Incluso lanzamos unos exponentes. Pero, ¿dónde queda la división? 

¿Recuerdas la regla que dice que no puedes dejar un radical en la parte inferior de una fracción? (Sí, de hecho, nunca tuvo sentido para nosotros: ¿por qué la parte superior pero no la inferior? Pero es como cuestionar por qué la luz verde significa "vía libre," mientras que la luz púrpura no significa nada).

De todos modos, la misma regla se aplica a los términos que contienen i, ya que i se define como la raíz cuadrada de -1. Para racionalizar los denominadores complejos, solo multiplica la parte superior y la parte inferior de la fracción por el conjugado. (Sí, dijimos: "solo." Hazlo suficientes veces, utiliza nuestro atajo patentado y será sencillo).

 Tomemos la fracción:

El conjugado de 2 – 4i es 2 + 4i. Entonces, multiplicaremos la parte superior y la inferior por ese conjugado. La parte superior se convierte en (2 + 4i). Aún no la distribuiremos porque podemos reducirla después. La parte inferior se convierte en 2² – (4i)² o 4 + 16. El resultado es 20.

 Podemos excluir otro 2 de dentro del paréntesis. 

 Y luego simplificarlo un poco. 

 o   

En realidad no importa cuál usemos; son iguales. 

Si tuviéramos un binomio en la parte superior, un poco más de álgebra sería necesaria, con frecuencia algo de FOIL.

De acuerdo, entonces podemos encontrar conjugados cambiando los signos. Podemos encontrar cocientes usando los conjugados. ¿Qué falta? 

Buen pregunta. Una cosa más que podemos hacer con los números complejos es encontrar sus módulos. El módulo de un número complejo es la raíz cuadrada del producto del número complejo y su conjugado. ¿Entiendes? 

Ya nos parecía que no. Lo repetiremos. El módulo de un número complejo es la raíz cuadrada del producto de un número complejo y su conjugado.

En español, significa esto: multiplica un número complejo por su conjugado. (Es decir, multiplica a + bi por a – bi, que nos da como resultado a² – b²i² o a² + b² porque sabemos que i² = -1). Luego, calcula la raíz cuadrada de la respuesta que obtengas. (Esto significa √68 a 2√17.