5. Representa la suma, la resta, la multiplicación y la conjugación de números complejos geométricamente en el plano complejo; utiliza propiedades de esta representación para calcular. Por ejemplo, (-1 + √3i)³ = 8  porque -1 + √3i  posee un módulo 2 y un argumento 120°.

Como el nombre lo indica, los números complejos, a veces, pueden volverse un poco, digamos, complejos. Pero relájate. No te lanzaremos bombas de complejidad en este momento. 

Como sabemos, la coordenada x de un número complejo representa su parte real y la coordenada y su parte imaginaria. Por lo tanto, sumar y restar números complejos es más o menos combinar términos similares. Trabaja primero con el componente real, a. Luego, pasa a b, el componente imaginario. Combínalos y, ¿qué obtienes? Bueno, la respuesta. 

Por ejemplo, digamos que tenemos que marcar en una grafica el resultado de sumar 3 + 2i y 6 – i. Primero, debemos agregar los valores a. Pasamos por 3, luego por 6 más y obtenemos 9. Por ende, el valor a es 9.

Ahora, los valores b. Primero, subimos 2 unidades (debido a 2i), pero luego bajamos una por el término -i. Esto nos deja en i. Significa que nuestro punto está a 9 unidades a la derecha y una unidad i hacia arriba. Es por eso que 3 + 2i + 6 – i = 9 + i.

Más fácil que hacer equilibrio con una morsa en la cabeza, ¿no? Ojalá. ¿Preparado para la parte compleja? Nosotros tampoco.

La multiplicación de números imaginarios en la forma a + bi es fácil. Los alumnos pueden usar FOIL como si la i fuera una x o alguna otra variable. No obstante, cuando pasamos a las coordenadas polares, el asunto se vuelve un poco más desafiante.

La regla básica para encontrar el producto de dos números complejos en forma polar es esta:

1. Multiplica los radios.
2. Suma los ángulos.

Entonces, si queremos encontrar el producto de (4, 30°) y (7, 20°), solo multiplicamos 4 y 7 para obtener la coordenada radial y sumamos 30° y 20° para obtener la coordenada angular. Nuestro producto es (28, 50°). No es para nada difícil, ¿verdad?

Por último, debemos ocuparnos de cómo encontrar el recíproco de un número complejo. Si está en la forma a + bi, es solo cuestión de álgebra. Colócalo debajo de 1, luego multiplica la parte superior y la parte inferior por el conjugado de la parte inferior.

Lo que queremos decir es que el recíproco de a + bi es . Como no podemos tener números imaginarios en denominadores, tenemos que multiplicar por el conjugado, lo cual nos dará como resultado o .

A veces, habrá que usar FOIL o la propiedad distributiva doble en la parte superior o en la parte inferior (o en ambas). Es solo álgebra, pero, a veces, se puede precisar una dosis importante de esta.

Los alumnos deberían saber que, en la forma polar, el recíproco del número (r, θ) es 1 sobre el valor r y el ángulo negativo. Por ejemplo, el recíproco de (2, 30°) es (½, -30°). Por lo general, el recíproco (r, θ) es (¹⁄_r, -θ).

¡Esa es solo una de las razones por las cuales estos números se llaman complejos!