9. Aprende el Teorema Fundamental del Álgebra; demuestra que se aplica a los polinomios cuadráticos.

Había una vez alumnos a quienes se les daba ecuaciones fáciles para resolver, ecuaciones con una variable a la primera potencia. Encontraban una respuesta, verificaban que fuera correcta y colorín colorado, este cuento se ha acabado.

Después vino la letra "F" de Factorización. Junto con ella, vinieron las ecuaciones cuadráticas y sus dos respuestas. Luego se convirtieron en cúbicas, con tres respuestas y, un momento, ¿vemos un patrón aquí?

Bueno, el Teorema Fundamental de Álgebra, sin duda, piensa así. Dice que el grado de una función polinómica es el mismo que el número de raíces. Entonces, una ecuación lineal (una con x a la primera potencia) posee 1 raíz. Las ecuaciones cuadráticas (con x a la segunda potencia) poseen 2 raíces. Las ecuaciones cúbicas (con x a la tercera potencia) poseen 3 raíces. Y así son las cosas.

Sin tener en cuenta cuán alto sea el grado, el grado se corresponde con el número de raíces.

Pero… (sí, sabías que tenía que haber un "pero") no dice que tienen que ser raícesdiferentes, necesariamente. Por ejemplo, si nuestra ecuación es x² + 4x + 4 = 0, vamos a obtener (x + 2)(x + 2) = 0, y nuestras dos raíces serán -2. Seguro que hay 2 dos, pero son idénticas.

Asimismo, el Teorema Fundamental de Álgebra no dice que las raíces tienen que ser reales, de modo que asegúrate de que tus estudiantes sepan cómo trabajar en el reino de lo imaginario.

Lo bueno de las raíces complejas (y raíces irracionales también): vienen en pares conjugados. Por consiguiente, si x = 7i es una raíz, automáticamente sabemos que x = -7i es otra. En consecuencia, si tenemos un número impar de raíces, una, por lo menos, debe ser racional.