4. Representa números complejos en el plano complejo en forma polar y rectangular (incluyendo números reales e imaginarios) y explica por qué las formas rectangulares y polares de un determinado número complejo representan el mismo número.

Hasta ahora, es muy probable que todos los gráficos de tus alumnos hayan sido en el plano cartesiano. (Su papel cuadriculado siempre ha parecido una red de pequeños cuadrados azules sobre un fondo blanco en la que los ejes x y y representaban números reales.) 

Sabemos que cualquier punto en un plano puede ser representado en términos de una coordenada x y una coordenada y. Esas coordenadas son reales. Pues eso se terminó. Vamos a cambiar los tipos de números y, en consecuencia, el gráfico entero.  

El eje y, en vez de representar números reales, va a representar números imaginarios. En otras palabras, podemos llamarlo i, 2i, 3i, etc., subiendo desde el origen y -i, -2i, -3i, etc. bajando.

Agregar i al eje y ha permitido tomar cualquier número complejo en la forma a + bi y colocarlo en el plano. La coordenada x es la "a" y la coordenada y comprende la parte "bi." Di a tus alumnos que se guarden el aplauso, por favor. 

Entonces, para marcar 3 + 7i en la gráfica, comenzamos en el origen. Avanzamos 3 unidades sobre el eje x y subimos hasta la unidad 7i sobre el eje y. Nuestro punto estaría en el primer cuadrante, justo aquí.

Si nuestro punto fuera -4 – 11i, tendríamos que ir 4 a la izquierda y 11i hacia abajo y marcar el punto en el tercer cuadrante. (Y sí, tus alumnos ya deben saber los cuadrantes: comienzan con I en la parte superior derecha y van en sentido contrario de las agujas del reloj.)

Pero, espera, esto se pone mejor. Recuerda cada película cursi sobre aviones que hayas visto. ¿Te suena la escena en la que el controlador de tránsito aéreo se da cuenta de que hay un problema y muestran su pantalla mientras él corre por la habitación en pánico? Piensa en su pantalla. No hay pequeñas cajas azules sobre un fondo blanco. No, su gráfico es fascinante. No es cuadrado, en absoluto; es circular.

Cada uno de los diferentes puntos de esta pantalla son representados por dos cosas: un ángulo y un radio. Las coordenadas son (r, θ). La coordenada r es la distancia desde el polo. (No el Polo Norte. El "polo" es lo mismo que el origen. ) La coordenada θ es el ángulo formado por el punto en comparación con una línea horizontal.

Estas se llaman coordenadas polares y no tienen ninguna relación con los osos polares. Los números complejos pueden ser representados utilizando coordenadas polares (no tanto osos polares). 

No te engañaremos. El proceso de conversión de cartesiano a polar puede ser un poco aterrador hasta que tus alumnos se acostumbren a él. Sin embargo, no te desesperes. No es fácil, pero tampoco hay que ser un genio de la ingeniería aeroespacial, por ejemplo (aunque se usan en los aviones, de modo que…).

Comencemos por un punto fácil y lindo. ¿Qué opinas de 4 + 3i? Parece amable.

El primer paso es encontrar la magnitud (su distancia del polo o del origen). La fórmula de magnitud parte de nuestra vieja y estimada fórmula de la distancia. 

En nuestro ejemplo, la magnitud sería  o √25 o 5. Llamamos a esta coordenada r, de radio. A propósito, no siempre resultan números enteros. Te dijimos que 4 + 3i era amable, ¿o no?

Bien. Entonces tenemos nuestra primera coordenada. Sabemos cuán lejos está el número. Ahora solo necesitamos encontrar el ángulo que haría bajar la dirección. ¿Cómo diablos hacemos eso?

Para encontrar el ángulo en cuestión, θ, usamos la siguiente fórmula:

En el caso de 4 + 3i, obtenemos:

Dejaremos que nuestra calculadora haga su magia. Si coopera, nos dará algo parecido a θ ≈ 37 grados.

Por lo tanto, nuestras coordenadas rectangulares de 3 + 4i se convierten en (5, 37°) cuando se traducen a coordenadas polares. Tan fácil como hacer un avión de papel.